El carcelero loco

      Aquí os enseño el problema que nos pusieron el primer dia de curso para aprender a disfrutar con las matemáticas

 El carcelero loco

En una cárcel hay 100 celdas. Las celdas están dispuestas en forma circular, dejando un lugar en el centro. Además, están numeradas del 1 al 100. Primero recorre todas las celdas y las va abriendo una por una, de la 1 a la 100. Una vez hecho esto, empieza de nuevo y cierra todas las pares. 
Es decir, cierra la 2, la 4, la 6,…, etcétera, hasta que llega a la número 100. Quedan abiertas, hasta ese momento, las celdas impares: 1, 3, 5, 7,…, 97, 99. 
Luego, vuelve hasta la celda número 3 y saltando de 3 en 3 las cambia de estado y así hasta llegar a la 100.

• ¿Puede decir usted qué puertas quedarán abiertas cuando él finalice con el proceso?

Solución

Para poder saber entonces cuáles serán las celdas que permanecerán abiertas, basta con contar qué números tienen un número impar de divisores.

Los únicos números que tienen un número impar de divisores son los cuadrados. Es decir, los números que resultan de haber elevado al cuadrado algún otro número.
Por ejemplo, el número 1 es un cuadrado, ya que

1 = 1²
El número 4 es un cuadrado porque 4 = 2²
El número 9 es un cuadrado porque 9 = 3²

Y así siguiendo, los números que son cuadrados entre 1 y 100 son:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100

ya que son, respectivamente,

1², 2², 3², 4², 5², 6², 7², 8², 9² y 10²

Moraleja: Cuando el carcelero loco termina su recorrida, las únicas celdas que quedan abiertas son la 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100^[3].