División de polinomios

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

1 A la izquierda situamos el dividendo.

 A la derecha situamos el divisor dentro de una "caja".

2 Dividimos el primer monomio del dividendo entre

 el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

3 Multiplicamos cada término del polinomio divisor por 

el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

4 Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el

primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por 

el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²

5 y continuamos 

10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el

 del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³ + 2x² + 5x + 8 es el cociente.

Polinomios y sus operaciones

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3      Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

1 Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x ³− 3x² + 4x

P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x²+ 4x)

2 Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

3 Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3

Multiplicación de polinomios

Se pueden llevar a cabo de formas distintas. pero las mas sencillas son estas:

P(x) = 2x² − 3 

Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) = 

= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³+ 9x² − 12x 

2 Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

Números algebraicos y transcendentes

Los números algebraicos son los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales. A la vista de esta definición es fácil comprender que todos los números racionales son algebraicos

Los números trascendentes son los números reales que no son solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes racionales. Por lo que hemos visto antes todos los números trascendentes son irracionales, aunque no todos los irracionales son trascendentes. Como ejemplos más representativos de este conjunto numérico tenemos 

al número 

 y al número  

Proposiciones matemáticas

¿Qué son?

Una proposición matemática p es un contenido semántico  al que se le asigna uno de los posibles valores de verdad:  V(verdadero) o F (falso).

Estos son los operadores lógicos: 

 ^ : “y” conjunción

v :“o” disyunción

-> :“si —, entonces” implicación

<-> : “si y sólo si” doble implicación

¬ : “no” negación 

 Las proposiciones de tipo implicación

Proposición directa p => q	<-- recíprocas -->	Proposición recíproca q => p
Proposición contraria no p => no q	<-- recíprocas -->	Proposición contrarrecíproca no q => no p

Si una proposición es verdadera, se hace una demostración.
 

Si una proposición es falsa se realiza el contraejemplo.

Se leen p implica q o bien si p entonces q.

                    

  Leyes de Demorgan

 Son una parte de la Lógica proposicional, analítica ,y fueron creadas por Augustus de Morgan. 

          1) p ^ q =  p v q 

           p y q es igual a p o q

2) p v q = p ^ q 

           p o q es igual a p y q 

Teorema del factor

A un polinomio P(x) es divisible por el monomio de la forma (x - a) ,si (x = a) = 0.

Al valor x = a se le llama raíz de P(x).

Las raíces de un polinomio son los valores que anulan el polinomio.

Proposición:

Teorema del resto

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

• Algunos y ejemplos y aplicaciones serian estos:

División

División entera

Proposición:

División entera de un polinomio

Proposición:

Algoritmo

Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica de forma :

 Que consta de lo siguiente

Un requisito que debe cumplir para llamarse polinomio es :

Términos equivalentes en: polinomios, ecuaciones (polinómicas) y funciones (polinómicas)

Reflexión

DISPUTAS MATEMÁTICAS EN EL SIGLO XVI TARTAGLIA CARDANO DEL FERRO

 Opinión sobre el artículo propuesto:  historiaybiografias

A través de sus biografía se reflejará esta historia de tristes disputas, y que muestra también la pasión que dominaba a  estos genios de los números, que muchas veces viviendo en un ámbito de miserias humanas y materiales , no se dejaban vencer por la adversidad, y siempre se esforzaban para llegar a conocer la verdad de estos dificultosos problemas.

Sim embargo en mi opinión desperdiciaron lo que podía haber sido una gran colaboración por el simple hecho de querer ser el primero en algo pudiendo ser dos grandísimos matemáticos con influencias de un tercero. Las miserias que sufrieron se deben en parte a este comportamiento infantil por el que acabaron saliendo perjudicados.

Tartaglia por avaricia traiciono sus principios por lo que acabo siendo una mentira y que lo costó el hallazgo más importante de su carrera .

Cardano tenía una personalidad un tanto extraña en la que el siempre tenía que tener razón o ser el primero en algo hasta el punto de suicidarse en el día que había predicho su muerte.

Si estos comportamientos hubiesen sido diferentes mucha de las tragedias que vivieron se habrían quedado en pequeños problemas o ni habría existido

Por eso creo q es una pequeña indirecta que nos da nuestro profesor para que nos planteemos la importancia y la idea  del trabajo en equipo por la que él está mucho por la labor.

Beyond the class

Nuestro profesor nos pidió que leyéramos un articulo hace unos cuantos días.

El artículo trata sobre unos estudiantes americanos, los cuales no sentían demasiada satisfacción con la metodología y el aprendizaje en su clase de matemáticas. Por lo tanto  decidieron cambiar la metodología habitual  de las clases, realizando trabajos grupales, buscando información ellos mismos a modo de auto aprendizaje , experimentando…

El resultado de este cambio fue una manera mucho mas eficaz de aprendizaje  que la habitual, con opción a la expasion y experimentación y a no seguir la educación al pie de un libro de papel como se ha hecho hasta ahora

Entiendo que nuestro profesor, nos quiere demostrar que si no nos ceñimos a un libro como hemos hecho los demás años he intentamos disfrutar con su forma de dar clase(parecida a este experimento) , aprenderemos mucho mas rápido , eficazmente y de una forma mas autónoma en la q podamos valernos por nosotros mismos. Tenemos que investigar por nosotros mismos, innovar y desarrollar nuevas formas de aprendizaje, ya que nos pueden resultar mucho más útiles y efectivas de lo que creemos.

Este artículo se llama “Beyond the class”

¿Racionalizar o operar?

Partimos de este ejercicio:

La forma de racionalizar esta operación sería:

Pero eso solo se quedaría en racionalización, si la queremos realizar deberíamos:

Y en el caso de que nos pidieran operar deberíamos:

Ej:

o bien 

Clasificación de los números

Números Naturales N

Los primeros números se usaron para contar cosas, son los números naturales (se representan por N). La cantidad de números naturales es infinita.

Ν = {1, 2, 3, ....}

Números Enteros Z

El conjunto formado por los números positivos, los números negativos y el cero se llama conjunto de números enteros. Ζ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....}

Números reales R

Se representan con la letra R

Es el conjunto formado por los números racionales Q, y los irracionales I.

Racional Q

Todo número que se pueda poner en forma de fracción se dice que es un número racional.(como explicamos en una entrada anterior)

Un numero racional es una fracción y todos sus equivalentes

Se representan por la letra Q

  

Irracional I (si no se puede representar mediante una fracción). Ejemplos de números reales irracionales, la raíz cuadrada de 2, 3, 5.

Se representan mediante la letra I.

-Irracionales Algebraicos (los que se pueden obtener como solución de una ecuación algebraica)

-Trascendentes (los que no se obtienen como solución de una ecuación algebraica). Por ejemplo 2 se puede obtener como solución de la ecuación 2x = 4 y raíz cuadrada de 2 se pueden obtener de la ecuación x² = 2.

-Número e , Número p(relación entre longitud de circunferencia u su diámetro) nunca son solución de ecuaciones algebraica. 

Números Complejos C

 Se representan con la letra C (no han sido explicados por el momento)