Examen para casa (números complejos)

1.-        a) ¿Las funciones reales de variable real cuyas expresiones algebraicas son x² y x³ son inyectivas?

            b) ¿La raíz cuadrada y la raíz cúbica de un número real son operaciones?

            c) ¿La raíz cuadrada y la raíz cúbica de un número complejo son operaciones?

     a) Una funcion es inyectiva si no hay dos elementos que tengan imagenes iguales 

La función f(x)=x²    no es inyectiva puesto que por ejemplo la imagen f(x)=4 se puede obtener como f(-2) y f(2)

Sin embargo la funcion f(x)=x³   si que es inyectiva, ya que a cada valor de x le corresponde una imagen f(x) diferente

 b) La raíz cuadrada y la raíz cúbica de un número real son operaciones ya que se obtienen como la inversa de las respectivas funciones f(x)=x²     y  f(x)=x³ 

    c) De la misma forma ocurre con las operaciones con números complejos pero en el dominio números complejos en lugar de R

d)   

2.-        Utiliza la fórmula de Moivre para demostrar las siguientes igualdades trigonométricas:

            a) sen2x = 2 senx cosx

            b) cos2x = cos²x – sen²x

Y encuentra las correspondientes fórmulas para sen3x y cos3x.

3.- Halla el módulo y el argumento del inverso de un número complejo z distinto de 0.

4.- El físico y astrónomo ucraniano George Gamow (1904-1968) publicó en su libro de divulgación científica One Two Three ... Infinity: Facts and Speculations of Science (1947, pág. 35-37) el problema de la isla del tesoro cuyo enunciado dice: Un joven encontró; entre los documentos de su bisabuelo un trozo de pergamino que contenía las instrucciones para encontrar un tesoro enterrado en una isla desierta. El contenido era el siguiente: Navega hasta los 21° 24' 46'' latitud norte y los 82° 33' 52'' de longitud oeste, allí encontrarás una isla, y un prado en su costa sur. En el prado hay un roble, un pino y una horca. Camina de la horca al roble contando los pasos. Al llegar al roble, gira a la derecha en ángulo recto, da el mismo número de pasos y clava una estaca. Regresa a la horca, camina ahora en dirección al pino, contando el número de pasos. Al llegar al pino, gira a la izquierda en ángulo recto, camina el mismo número de pasos y clava otra estaca. Finalmente, une ambas estacas con una cuerda y en el punto medio entre ellas está enterrado el tesoro. Siguiendo las instrucciones, el joven encontró la isla, el prado, el roble y el pino. Pero había transcurrido demasiado tiempo desde que su bisabuelo enterró el tesoro y de la horca no quedaba rastro alguno, había desaparecido. ¿Puedes, utilizando números complejos, ayudar al joven a encontrar el tesoro sin conocer la ubicación de la horca

El tesoro se encuentra en el semieje imaginario negativo a una unidad